Kalkulator nachylenia

Omni kalkulator nachylenia określa nachylenie, czy spadek między dwoma punktami w kartezjańskim układzie współrzędnych. Nachylenie jest wielkością, która mówi o tym jak stroma jest prosta i może mieć wartość dodatnią, ujemną, zerową lub nieokreśloną. Przed skorzystaniem z kalkulatora warto dowiedzieć się, jak znaleźć nachylenie za pomocą wzoru na nachylenie. Aby znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dowolne dwa punkty, użyj naszego kalkulatora równania kierunkowego prostej.

W tej sekcji pokażemy ci, jak korzystać z tego kalkulatora, wraz z przykładowymi obliczeniami, aby było to dla ciebie prostsze. Aby obliczyć nachylenie prostej, musisz znać dowolne dwa punkty na niej:

1. Wprowadź współrzędne x i y pierwszego punktu na linii.

2. Podaj współrzędne x i y drugiego punktu na linii.

3. Natychmiast otrzymasz nachylenie linii. Ale magia nie kończy się na tym, ponieważ otrzymujesz również kilka dodatkowych wyników:

   • Równanie twojej funkcji (takie samo jak równanie linii).
   • Miejsce przecięcia linii.
   • Kąt nachylenia linii względem osi x (mierz w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
   • Nachylenie jako procent (stopień procentowy).
   • Odległość między dwoma punktami.

Dla przykładu, powiedzmy, że masz linię, która przechodzi przez punkty (1, 5) i (7, 6). Wprowadź współrzędne x i y pierwszego punktu, a następnie współrzędne x i y drugiego. Natychmiast zobaczysz, że nachylenie linii wynosi 0,166667. Jeśli potrzebujemy równania linii, to teraz również je mamy: y = 0,16667x + 4,83333.

Możesz używać tego kalkulatora w odwrotnej kolejności i znaleźć brakujące współrzędne x lub y! Na przykład, rozważ linię, która przechodzi przez punkt (9, 12) i ma nachylenie 12%. Aby znaleźć punkt, w którym linia przecina oś y (tj. x = 0), wpisz 12% w procentach (9, 12) jako współrzędne pierwszego punktu i x₂ = 0. Od razu kalkulator powie nam, że y₂ = 10,92.

Nachylenie linii ma wiele istotnych zastosowań w geometrii i rachunku różniczkowym. Poniższy artykuł jest doskonałym wprowadzeniem do podstaw tego tematu i nalegamy, abyś go przeczytał.

Zauważ, że nachylenie prostej można sprawnie obliczyć na kartce, gdy mamy do czynienia z małymi współrzędnymi w postaci liczb całkowitych. Wzór jest jeszcze bardziej użyteczny, gdy współrzędne przyjmują większe wartości lub są liczbami dziesiętnymi.

Jeśli linia, na której leżą punkty, jest dana wzorem

$y = m x + c$

to nachyleniem jest $m$, a $c$ jest $y$.

Warto wspomnieć, że każda prosta pozioma ma nachylenie równe zero, ponieważ każde dwa punkty leżące na linii poziomej mają te same współrzędne y. W takim przypadku licznik we wzorze na nachylenie wynosi zero. Z drugiej strony, prosta pionowa będzie miała nieokreślone nachylenie, ponieważ współrzędne x będą zawsze takie same. Jak dobrze wiemy, dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane dla liczb rzeczywistych.

1. Określ współrzędne dwóch punktów $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$. Użyjemy wzoru do obliczenia nachylenia prostej przechodzącej przez punkty $(3, 8)$ i $(-2, 10)$.

2. Równanie na nachylenie to stosunek różnicy odpowiednio współrzędnych x-owych i y-owych, przez co otrzymamy $(10 - 8)/(-2 - 3)$.

3. Odejmij wartości w nawiasach, aby uzyskać $2/(-5)$.

4. Uprość ułamek, aby otrzymać nachylenie $-2/5$.

5. Sprawdź wynik za pomocą kalkulatora nachylenia.

Aby znaleźć nachylenie prostej, potrzebujemy dwóch współrzędnych punktów, które się na niej znajdują. Wystarczą dowolne dwie pary współrzędnych. Zasadniczo mierzymy wielkość zmiany współrzędnej y (rzędnej) podzielonej przez zmianę współrzędnej x (odciętej). Obliczenia związane ze znalezieniem nachylenia są łatwe i obejmują jedynie podstawowe działania — odejmowanie i dzielenie.

Intuicyjnie, nachylenie funkcji odzwierciedla jej tempo zmian. Jednym z najprostszych rzeczywistych przykładów nachylenia jest prędkość: miara tego, jak pozycja zmienia się w czasie.

Załóżmy, że rowerzysta jedzie wzdłuż linii prostej, a jego pozycja w czasie t w odniesieniu do pewnego początkowego punktu 0 jest dana wzorem x(t) = 5t + 3. (Bądź ostrożny: tutaj zmieniamy pozycję w czasie, więc x jest funkcją t, w przeciwieństwie do poprzednich sekcji, w których zmienialiśmy y z x) Wtedy ich prędkość wynosi v = 5, co jest dokładnie nachyleniem we wzorze na x(t). Jego fizyczną interpretacją jest to, że w przyroście czasu Δt rowerzysta pokonuje dodatkową odległość 5(Δt).

W powyższym przykładzie rowerzysta jechał ze stałą prędkością v = 5. Ale co, jeśli zamiast tego przyspieszy ze stałym przyspieszeniem? Załóżmy, że rowerzysta rozpoczyna jazdę w punkcie x = 0 z zerową prędkością i przyspieszeniem a = 10. Oznacza to, że zaczynając od 0, rowerzysta zwiększa swoją prędkość o 10 w każdej jednostce czasu, a zatem jego prędkość w czasie t wynosi v(t) = 10t. Podobnie jak prędkość jest tempem zmiany położenia, przyspieszenie jest tempem zmiany prędkości, więc możesz odczytać wartość 10 dla przyspieszenia ze wzoru na prędkość.

A co z pozycją rowerzysty w tym przypadku? Okazuje się, że jego pozycję opisuje wzór x(t) = 5t². Wyjaśnimy później, skąd wziął się ten wzór: na razie ważne jest to, że w ruchu ze stałym przyspieszeniem pozycja jest kwadratową funkcją czasu (a nie liniową, jak to było w przypadku ruchu ze stałą prędkością). W rezultacie nie możemy już odczytać prędkości rowerzysty jako pojedynczej liczby ze wzoru na pozycję. Jest to konsekwencja tego, że prędkość nie jest już stała i odzwierciedla ważną lekcję: tempo zmian (tj. nachylenie) funkcji jest stałą liczbą tylko wtedy, gdy funkcja jest liniowa.

Jak zatem możemy obliczyć prędkość v(t) = 10t ze wzoru na położenie x(t) = 5t²? Musimy różniczkować x(t) (tj. wziąć jego pochodną). Pochodną funkcji w danym czasie jest właśnie jej tempo zmian w tym czasie; dlatego v(t) jest pochodną x(t), oznaczaną jako x'(t) lub dx(t)/dt.

Z geometrycznego punktu widzenia pochodna x'(t) jest nachyleniem linii stycznej do funkcji w chwili t; ogólnie rzecz biorąc, w każdej chwili t linia styczna będzie inna, podobnie jak pochodna. Zatem różniczkowanie udoskonala ideę obliczania nachylenia, ponieważ pozwala nam obliczyć "nachylenie" funkcji, których tempo zmian również się zmienia.

Odwrotnością różniczkowania jest integracja: proces, w którym obliczamy funkcję z jej pochodnej. To właśnie poprzez całkowanie otrzymujemy funkcję położenia rowerzysty x(t) = 5t² z jego prędkości v(t) = 10t. Geometrycznie, całkowanie funkcji sprowadza się do policzenia pola pod wykresem. Wykres funkcji prędkości v(t) = 10t wyznacza trójkąt o podstawie t i wysokości 10t, a więc pole pod wykresem wynosi 0,5 × t × (10t) = 5t² - to dokładnie nasza funkcja położenia!

Punkt środkowy, podobnie jak nachylenie, można obliczyć za pomocą punktów końcowych odcinka. Punkt środkowy jest ważnym pojęciem w geometrii, szczególnie podczas wpisywania wielokąta wewnątrz innego wielokąta, którego wierzchołki dotykają punktów środkowych boków większej figury. Odpowiednie współrzędne można uzyskać za pomocą kalkulatora punktu środkowego lub po prostu biorąc średnią z każdej pary współrzędnych x i średniej pary współrzędnych y, aby określić współrzędne nowych punktów.

Nachylenia linii są ważne przy określaniu, czy trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Jeśli dowolne dwa boki trójkąta mają nachylenia, których iloczyny mnożą się do -1, wówczas trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Obliczenia można wykonać ręcznie lub za pomocą kalkulatora trójkąta prostokątnego. Możesz także użyć kalkulatora odległości, aby obliczyć, który bok trójkąta jest najdłuższy, co pomaga określić, które boki muszą tworzyć kąt prosty, jeśli trójkąt jest prostokątny.

Znak przed gradientem podanym przez kalkulator nachylenia prostej wskazuje, czy linia jest rosnąca, malejąca, stała czy nieokreślona. Jeśli wykres linii przesuwa się od lewego dolnego rogu do prawego górnego rogu, jest on rosnący, a zatem dodatni. Jeśli maleje, gdy porusza się od lewego górnego rogu do prawego dolnego, gradient jest ujemny.

Kalkulator nachylenia jest jednym z najstarszych narzędzi na naszej stronie. Zbudowany przez naszych weteranów Mateusza i Julię, którzy sprawiają, że tworzenie narzędzi naukowych wygląda łatwo! Pomysł na ten kalkulator narodził się, gdy oboje zajmowali się analizą danych i zdali sobie sprawę, jak kalkulator nachylenia ułatwiłby im pracę. Nawet dziś możesz znaleźć ich od czasu do czasu używających tego narzędzia w celu dokonania dokładnych pomiarów.

Przykładamy szczególną wagę do jakości naszych treści, aby były jak najdokładniejsze i wierzytelne. Każde narzędzie jest recenzowane przez wyszkolonego eksperta, a następnie sprawdzane przez native speakera. Możesz dowiedzieć się więcej o naszych standardach na stronie Zasady redagowania.