Kalkulator równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt

Omni kalkulator równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt pomoże ci znaleźć równanie prostej na podstawie współrzędnych punktu na tej prostej i nachylenia prostej. Wkrótce dowiesz się, co to jest równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt i czym różni się od równania kierunkowego prostej. Wymyśliliśmy również dwa ćwiczenia, a w ostatnim akapicie wyjaśnimy, jak je rozwiązać.

Zacznijmy od podstaw i omówmy, czym jest nachylenie prostej.

Nachylenie, znane również jako gradient, jest wyznacznikiem tego, jak „stroma” jest linia. Jeśli współczynnik kierunkowy jest dodatni, oznacza to, że linia rośnie. Jeśli jest ujemny — linia maleje. Jeśli jest równy zero, linia jest pozioma.

Nachylenie między dwoma punktami można znaleźć, szacując stosunek zmiany y / zmiany x (z ang. rise over run) — różnicę wysokości w stosunku do odległości między dwoma punktami.

Zatem wzór na nachylenie jest następujący:

a = zmiana y / zmiana x = (y - y₁) / (x - x₁)

Równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt jest przekształconym równaniem nachylenia.

Do znalezienia gradientu funkcji nieliniowych, możesz użyć naszego kalkulatora średniego tempa zmian.

Istnieje więcej niż jeden sposób zapisu równania prostej. Równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt jest formą równania liniowego, w którym występują trzy charakterystyczne liczby — dwie współrzędne punktu na prostej i nachylenie prostej. Równanie w postaci punkt-nachylenie ma postać:

gdzie:

• $\small x_1, y_1$ są współrzędnymi punktu,
• $\small a$ jest nachyleniem.

Czy widzisz podobieństwo do wzoru na nachylenie prostej? Być może nie wiesz, że istnieją inne sposoby zapisania równania prostej. Bardziej popularne jest równanie prostej w postaci kierunkowej:

gdzie:

• $\small a$ to nachylenie,
• $\small b$ jest punktem przecięcia z osią y.

W rzeczywistości jest to nic innego jak bardziej zwięzła forma równania prostej w postaci punkt-nachylenie. Prosta przecina oś y w punkcie (0, b). Jeśli wybierzesz ten punkt – (0, b), jako punkt, którego chcesz użyć w postaci punkt-nachylenie równania, otrzymasz:

$\small y - b = a \cdot (x - 0)$, które jest tym samym, co $\small y = a \cdot x + b$.

Na dwóch poniższych wykresach widać tę samą funkcję, tylko opisaną równaniami liniowymi w dwóch różnych postaciach:

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć współrzędne punktów przecinających osie, odwiedź nasz kalkulator punktów przecięcia z osiami x i y 🇺🇸.

Przyjrzyjmy się dwóm ćwiczeniom, aby lepiej zrozumieć temat.

Nachylenie prostej wynosi 2. Prosta przechodzi przez punkt A(2, -3). Jakie jest ogólne równanie tej prostej?

1. Określ współrzędne punktu:
   • x₁ = 2
   • y₁ = -3
2. Określ nachylenie:
   • a = 2
3. Wprowadź wartości do wzoru na nachylenie punktu:
   • $\small y - y_1 = a (x - x_1)$
   • $\small y - (-3) = 2(x - 2)$
4. Uprość, aby otrzymać równanie w postaci ogólnej:
   • $\small y = 2x - 4 - 3$
   • $\small 0 = 2x - y - 7$
   I mamy odpowiedź. Teraz możesz sprawdzić wynik za pomocą naszego kalkulatora równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt.

Rozwiążmy kolejne ćwiczenie bardziej powiązane z życiem codziennym.

Załóżmy, że masz szczeniaka. Kiedy go dostałeś, ważył 14 kilogramów. Każdego dnia rósł o 0,2 kilograma, a po 30 dniach ważył 20 kilogramów. Znajdź ogólne równanie opisujące wzrost szczeniaka.

1. Nachylenie to zmiana wagi na dzień: a = 0,2.

2. Punktem charakterystycznym jest 20 kilogramów w 30 dniu: (x₁, y₁) = (30, 20).

3. Teraz wprowadź wartości do wzoru na nachylenie punktu:

   $\small y - 20 = 0,\!2 \cdot (x - 30)$.

4. Uprość równanie, aby otrzymać równanie w postaci ogólnej:

   $\small 0 = 0,\!2x - y + 14$.

I gotowe! Mamy nadzieję, że spodobał ci się nasz kalkulator równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt!

Jeśli masz postać równania kierunkowego prostej przechodzącej przez dany punkt o współrzędnych (x₁, y₁), możesz uzyskać postać kierunkową prostą, wykonując następujące kroki:

1. Zapisz swoje równanie kierunkowe ze współrzędnymi punktu:

   y - y₁ = a(x - x₁)

2. Rozwiń prawą stronę:

   y - y₁ = ax - ax₁

3. Dodaj b do obu stron:

   y = ax - ax₁ + y₁

4. I gotowe, otrzymałeś/aś równanie prostej w postaci kierunkowej! Nachylenie to a, a punkt przecięcia to - ax₁ + y₁.

Punkt przecięcia prostej opisanej równaniem kierunkowym y - y₁ = a(x - x₁) z osią y jest określony wzorem punkt przecięcia = y₁ - ax₁. Na przykład dla prostej y - 1 = 2(x - 3) otrzymamy 1 - 6 = -5, co oznacza punkt przecięcia o współrzędnych (0, -5).

Jeśli nachylenie prostej wynosi zero, wzór na równanie kierunkowe prostej sprowadza się do y - b = 0. Równanie to opisuje linię poziomą, która przecina oś pionową w punkcie y = b.

Tak! Weźmy prostą o równaniu kierunkowym w postaci y = ax + b. Zapiszmy jej równanie kierunkowe prostej dla punktu (0, y₁). Otrzymamy formułę y - y₁ = a(x - 0), która jest taka sama (aż do trywialnego przekształcenia polegającego na przeniesieniu y₁ na prawą stronę) jak równanie prostej w postaci kierunkowej.