Calculadora de Elipse
A calculadora de elipse da Omni é uma ferramenta útil para você determinar os parâmetros básicos e os pontos mais importantes de uma elipse. Você pode usá-la para encontrar o centro, os vértices, os focos, a área ou o perímetro. Tudo o que você precisa fazer é escrever a equação da forma geral da elipse e ver essa calculadora fazer as contas para você.
Escrevemos este artigo para ajudar você a entender as características básicas de uma elipse. Continue lendo para saber como encontrar a área de uma elipse, qual é o foco de uma elipse ou como definir a excentricidade.
Se você gostou da calculadora de elipse, veja também a calculadora de octógonos!
O que é uma elipse?
Uma elipse é um caso generalizado de uma seção cônica fechada. Ela tem forma oval e é obtida se você cortar um cone com um plano inclinado. No caso em que o ângulo de inclinação do plano é igual a zero, você obtém um círculo (os círculos são um subconjunto de elipses). Para saber mais sobre cones, confira a calculadora do cone circular reto 🇺🇸 da Omni!
Se quiser desenhar uma elipse, você deve determinar dois pontos, chamados focos (pontos F₁ e F₂ na imagem acima). Em seguida, a elipse é definida como um conjunto de todos os pontos para os quais a soma das distâncias até o primeiro e o segundo foco é igual a um valor constante. Em um círculo, ambos os focos se sobrepõem em um ponto.
Equação geral da elipse
A equação de uma elipse é um caso generalizado da equação de um círculo. Ela tem a seguinte forma:
(x - c₁)² / a² + (y - c₂)² / b² = 1
onde:
- (x, y): coordenadas de um ponto arbitrário na elipse;
- (c₁, c₂): coordenadas do centro da elipse;
- a: distância entre o centro e o vértice da elipse, situada no eixo horizontal; e
- b: distância entre o centro e o vértice da elipse, situada no eixo vertical.
Se a elipse for horizontal (ou seja, é um círculo "esticado" ao longo do eixo horizontal), então a é maior que b. Se for vertical, então b é maior que a. Para os parâmetros a = b, a elipse é um círculo regular de raio a e é definida pela equação do círculo seguinte:
- (x - c₁)² + (y - c₂)² = a²
Qual é a fórmula da área da elipse?
Se a e b são os comprimentos do semieixo maior e semieixo menor, respectivamente, de sua elipse, então a fórmula da área é:
A = π ⋅ a ⋅ b
Em particular, se a = b, você obtém A = π ⋅ a².
Parece familiar? Você está certo, recuperamos a fórmula para a área de um círculo com raio a!
Surpreendentemente, encontrar o perímetro de uma elipse é muito mais difícil. Há muitas aproximações que fornecem soluções em vários níveis de precisão e exatidão. Em nossa calculadora de elipse, você usa a aproximação dada por Ramanujan:
A calculadora de elipse da Omni também pode fornecer a você a excentricidade de uma elipse. Qual é esse valor? Continue lendo para descobrir!
O que é a excentricidade de uma elipse?
A excentricidade é a razão de dois valores: a distância entre qualquer ponto da elipse e o foco; e a distância desse ponto arbitrário até a reta chamada diretriz da elipse.
Toda elipse é caracterizada por uma excentricidade constante. Se a elipse for um círculo, então a excentricidade é 0. Se ela estiver infinitamente próxima de uma reta, então a excentricidade se aproxima do infinito.
A excentricidade é calculada com o uso da seguinte equação:
excentricidade = √(a² - b²) / apara uma elipse horizontal; eexcentricidade = √(b² - a²) / bpara uma elipse vertical
Centro, focos e vértices de uma elipse
Além dos parâmetros básicos, a nossa calculadora de elipse pode encontrar facilmente as coordenadas dos pontos mais importantes de cada elipse. Esses pontos são o centro (C), os focos (F₁ e F₂) e os vértices (V₁, V₂, V₃, V₄).
- Para encontrar o centro, dê uma olhada na equação da elipse. As coordenadas do centro são simplesmente os números (c₁, c₂).
- Os focos de uma elipse horizontal são:
- F₁ = (-√(a²-b²) + c₁, c₂)
- F₂ = (√(a²-b²) + c₁, c₂)
- Os focos de uma elipse vertical são:
- F₁ = (c₁, -√(b²-a²) + c₂)
- F₂ = (c₁, √(b²-a²) + c₂)
- Os vértices de uma elipse estão localizados nos pontos:
- V₁ = (-a + c₁, c₂)
- V₂ = (a + c₁, c₂)
- V₃ = (c₁, -b + c₂)
- V₄ = (c₁, b + c₂)
Há outro parâmetro relacionado a seções cônicas chamado 'latus rectum', e você pode aprender sobre ele em nossa calculadora de latus rectum 🇺🇸!
Perguntas frequentes
Como calcular a área de uma elipse?
Para encontrar a área de uma elipse:
- Determine os comprimentos dos raios (o semieixo maior e o semieixo menor, para usar uma linguagem mais formal).
- Calcule o produto desses comprimentos de raios.
- Multiplique o resultado do passo 2 por
π, ou seja, aproximadamente, por3,14. - Pronto! Agora você sabe a área da sua elipse!
Qual é a excentricidade de uma elipse com raios 4 e 5?
A resposta é 3/5. Para derivá-la, use a fórmula de excentricidade e = √(a² - b²) / a, em que a = 5 e b = 4. Substituindo os valores, você obtém √(25 - 16) / 5 = 3/5.
