Calculadora de Octógonos

Boas-vindas à calculadora de octógonos da Omni, a ferramenta definitiva para tudo o que é octangular. Aqui, esperamos que você encontre uma excelente ferramenta para calcular as diagonais, o perímetro, o raio circunscrito, o raio inscrito e a área de um octógono regular. Nessa calculadora de área de octógono, você também encontrará as respostas para as seguintes perguntas: o que é um octógono, quantos lados tem um octógono, como encontrar a área de um octógono regular ou como desenhar um octógono.

Analisaremos a definição de octógono, discutiremos os ângulos do octógono e como eles afetam a forma do octógono. Além de tudo isso, veremos alguns exemplos de octógonos do mundo real, incluindo azulejos, pisos e a famosa "casa octagonal".

A definição padrão de um octógono é: "Um octógono é um polígono com 8 lados que delimita uma área fechada." Qualquer pessoa com um conhecimento básico de grego deve ser capaz de responder confortavelmente à pergunta quantos lados tem um octógono sem nenhuma noção de matemática. Isso ocorre porque "Octo-" em grego significa oito, portanto, é seguro presumir que um octógono tem oito lados.

Vamos nos aprofundar um pouco mais na origem grega da forma do octógono quando falarmos sobre os ângulos do octógono, mas, por enquanto, vamos nos ater aos lados do octógono. Se alguém perguntar "quantos lados tem um octógono?", a resposta será sempre a mesma, mas se perguntarem sobre o comprimento desses lados, não poderemos dar uma única resposta. Cada lado de um octógono pode ter comprimentos diferentes e ainda assim ser um octógono; não há restrições quanto a isso. No entanto, quando todos os ângulos internos e comprimentos laterais de um octógono são iguais, ele é chamado de octógono regular, com propriedades especiais, como veremos nas próximas seções.

Se observarmos a origem da palavra "octógono", ela vem do grego e significa "oito ângulos". O resultado disso é um polígono composto de oito vértices unidos por oito linhas retas. Os oito lados são uma consequência necessária do fato de você ter oito ângulos. Na verdade, a definição padrão de octógono define o octógono como tendo oito lados em vez de oito ângulos, mas você já sabe que ambas as definições são praticamente as mesmas. Portanto, a pergunta o que é um octógono? pode ser respondida como "um polígono de oito lados" ou "um polígono com oito ângulos".

Embora os lados de um octógono possam ter praticamente qualquer comprimento, os ângulos do octógono são restritos. Não há uma restrição imposta a cada ângulo, mas à soma deles. Essa restrição é geométrica, pois seria impossível unir todos os oito lados sem seguir essa regra. Para qualquer octógono, a soma de todos os seus ângulos internos é sempre "1080°".

Isso significa que um octógono regular terá ângulos internos de exatamente 1080°/8 = 135° (se você preferir outras unidades, fique à vontade para usar a calculadora de conversão de ângulos 🇺🇸 da Omni). Em nossa opinião, um octógono regular é muito mais bonito do que todos os outros octógonos. Mais adiante no texto, veremos como encontrar a área de um octógono e os truques associados a um octógono regular.

Se você quiser saber como encontrar a área de um octógono regular manualmente, o procedimento mais fácil é aplicar a fórmula padrão para a área de um polígono regular. A fórmula é a seguinte:

área de um polígono regular = perímetro × apótema / 2

onde o “apótema” é a distância do centro do polígono até o ponto médio de um lado.

Um truque para você se lembrar dessa fórmula é entender de onde ela vem. Se você observar o apótema, verá que ele é a altura de um triângulo formado por uma reta que vai dos vértices do polígono/octógono até o centro dele. O triângulo resultante é o que chamamos de triângulo isósceles, e, conforme explicamos na calculadora de área de triângulo, sua área é:

área do triângulo = base × altura / 2

Observe que a base do triângulo é o comprimento de um lado do octógono. Como há muitos triângulos e muitos lados (oito para um octógono), você deve multiplicar a área desse triângulo pelo número de lados. Você obterá a área total do octógono:

Área do octógono = 8 × base × altura / 2 = perímetro × apótema / 2.

Esses truques funcionam para qualquer polígono, por exemplo, hexágonos e qualquer outro polígono que você possa imaginar, desde que seja regular. Além de usar triângulos, há outros truques que você pode usar para calcular a área de um octógono se não se lembrar da fórmula, mas eles não funcionarão para outros polígonos. Por exemplo, se você imaginar um octógono dentro de um quadrado, poderá ver que a diferença é de apenas quatro triângulos retângulos. "Como encontrar a área de um octógono regular com essa informação?", você pode se perguntar. Na verdade, é muito fácil:

1. Calcule a área do quadrado (o lado é 2 × apótema).
2. Calcule os lados dos triângulos retângulos usando a calculadora de triângulos retângulos especiais da Omni.
3. Subtraia a área de um triângulo retângulo quatro vezes da área do quadrado.
4. Muito bem!

Como alternativa, você pode também tentar um outro truque. Se você organizar os triângulos retângulos corretamente, poderá construir um quadrado com todos eles. Nesse caso, a hipotenusa também é o lado do octógono. Em seguida, você pode calcular a área do quadrado que acabou de criar com os quatro triângulos retângulos e subtraí-la da área do quadrado grande.

Além disso, você pode ser ainda mais criativo. Por exemplo, imagine que o octógono seja composto de um retângulo com dois trapézios, um acima e outro abaixo do retângulo. Nesse caso, será muito mais fácil calcular a área, pois você só precisa somar a área do retângulo mais o dobro da área de um dos trapézios, já que os dois trapézios são iguais.

No total, um octógono tem 20 diagonais. As longas estão em seus eixos de simetria e se encontram no ponto central, O, que também é a origem da simetria. Há três tipos de diagonais (veja a imagem acima na seção "Área de um octógono"):

• Diagonais curtas, por exemplo, AG, FH ou CE;
• Diagonais médias, como AF ou BE (também chamadas de altura de um octógono); e
• Diagonais longas, por exemplo, AE ou BF.

Você pode derivar a fórmula para cada uma delas com facilidade usando os princípios básicos da geometria. Aqui estão as fórmulas para o comprimento das diagonais:

• Diagonal curta s = a ⋅ √(2 + √2)
• Diagonal média m = a ⋅ (1 + √2)
• Diagonal longa l = a ⋅ √(4 + 2√2)

Se você estiver com pressa, basta usar a calculadora de octógonos da Omni.

Também devemos falar sobre o raio circunscrito e inscrito. Nossa calculadora de área de octógono é capaz de encontrar os raios dos círculos circunscritos e inscritos.

Você pode notar que o raio do círculo circunscrito é simplesmente a metade do comprimento da diagonal longa:

• R = l/2 = a / 2 ⋅ √(4 + 2√2)

Da mesma forma, o raio do círculo inscrito é o mesmo que o apótema, que é apenas a metade da altura do octógono:

• r = m/2 = a/2 ⋅ (1 + √2)

A princípio, pode parecer fácil desenhar um octógono e, na verdade, é mesmo. Basta desenhar qualquer forma com oito lados retos e pronto. Mas, normalmente, o que as pessoas querem desenhar não é qualquer octógono, mas um octógono regular, pois é a primeira forma octogonal que vem à mente. Portanto, vejamos como desenhar um octógono regular não só é possível como também fácil.

A maneira mais precisa seria usar ferramentas de desenho adequadas e começar a desenhar a forma regular do octógono, um lado de cada vez, unindo-os com os ângulos correspondentes de 135° do octógono regular. Mas nem todo mundo tem essas ferramentas à mão, portanto, esse não é um método muito prático. Para obter a forma de octógono que estamos procurando, é melhor começar com sua circunferência, pois ela pode ser desenhada à mão (não recomendado) ou usando um copo, xícara ou até mesmo uma moeda.

Com a circunferência desenhada, comece a dividir a área do círculo correspondente em metades. Primeiro, você fará dois semicírculos. Em seguida, você os dividirá ao meio novamente e obterá quatro semicírculos. Divida pela metade mais uma vez e você terá oito semicírculos. Agora você pode pegar os pontos de divisão ao longo da circunferência e unir os pontos adjacentes com uma linha reta. O resultado é um octógono perfeitamente regular, descontando o erro humano que você pode cometer ao desenhar e dividir o círculo em 8 partes.

Outro truque de como desenhar um octógono seria aquele que já discutimos quando aprendemos a encontrar a área de um octógono a partir de quadrados. Comece desenhando um quadrado grande e depois "corte" seus cantos. Se você fizer isso corretamente, obterá um octógono regular. Esse método não é tão preciso quanto o anterior, mas é mais fácil de executar sem nenhuma ferramenta.

O uso da calculadora de octógonos não é muito complicado, mas, para não restar dúvidas, vamos examinar os recursos e usos da calculadora da área de um octógono. Em primeiro lugar, devemos examinar os diferentes campos e o que eles significam.

• Comprimento de cada lado: é o comprimento de cada lado do octógono regular;
• Perímetro: soma do comprimento de todos os lados do octógono;
• Área: espaço delimitado pelo próprio octógono;
• Diagonal longa: comprimento que une os dois vértices mais distantes;
• Diagonal média: comprimento que une 2 vértices com 2 vértices entre eles;
• Diagonal curta: comprimento da linha que une 2 vértices com 1 vértice entre eles;
• Raio do círculo circunscrito: raio do círculo que contém todos os 8 vértices do octógono regular; e
• Raio do círculo inscrito: raio da menor circunferência que é tangente a todos os 8 lados.

Agora que você sabe o que cada parâmetro significa, é hora de ver como usar a calculadora de octógonos para obter facilmente os valores que você está procurando. O melhor recurso dessa calculadora é que ela requer apenas uma entrada para calcular o restante dos valores. Essa inovação torna a calculadora de octógonos a maneira mais rápida de calcular quaisquer propriedades de um octógono.

Até agora, falamos sobre a definição de octógono e como desenhá-lo. Vimos imagens de octógonos e até respondemos à pergunta (agora óbvia) de quantos lados tem um octógono. Agora, é hora de ver como os octógonos são usados na vida real. A forma do octógono é mais fácil de fabricar e usar em projetos do que um círculo devido aos lados planos e aos ângulos do octógono. É comum encontrarmos azulejos octogonais no piso ou no banheiro. Existem até casas com formato de octógono, principalmente a famosa "Octagon House", ou casa octogonal, em português.

A casa octogonal foi construída em formato octogonal em Washington D.C., EUA, para o Coronel John Tayloe III. Por esse motivo, ela também é conhecida como a casa do Colonel John Tayloe III. Ela segue a "tradição" americana de dar aos edifícios o nome de sua forma, como fizeram com o Pentágono. O Pentágono é a sede do Departamento de Defesa dos Estados Unidos e foi construído no formato de um pentágono regular.

A casa octogonal tem muitas características arquitetônicas interessantes, como uma escada de serviço triangular, uma escada oval maior e a óbvia forma octogonal do edifício. Além dessas características únicas, várias histórias de fantasmas cercam a casa, em parte porque o proprietário era uma figura importante no início da história americana.

Como qualquer polígono regular, o formato octogonal acaba sendo útil em muitas aplicações diferentes. Já falamos sobre a fabricação de casas em formato octogonal e, continuando com as construções, os octógonos são particularmente populares quando se trata de pisos, principalmente na forma de ladrilhos octogonais. O formato de um octógono regular significa que podemos combinar ladrilhos octogonais e quadrados para preencher completamente o piso de qualquer cômodo, independentemente de sua metragem quadrada.

Usando um padrão diferente em cada tipo de ladrilho ou usando cores diferentes, essas combinações permitem que você crie um belo piso para sua cozinha ou banheiro.

Outro uso interessante dos octógonos é dentro das câmeras fotográficas. Em particular, o obturador protege o sensor da exposição à luz quando a câmera não está em uso. Esse obturador, ou abertura, é sempre feito seguindo uma forma poligonal regular, incluindo a forma octogonal. Você pode saber mais sobre a abertura e como usá-la para obter fotos com aparência mais profissional com a calculadora da área do obturador 🇺🇸 da Omni.

Antes de você verificar essa calculadora, queremos lhe dar uma dica/truque rápido. Ao ver uma foto de uma fonte de luz brilhante, você deve ter notado que ela se parece com uma estrela com um número diferente de braços pontiagudos, dependendo da câmera. Essa observação é a chave para descobrir se a sua câmera tem uma abertura octogonal ou não: o número de braços pontiagudos é precisamente igual ao número de lados do polígono que compõe a abertura. E quantos lados tem um octógono? Exatamente! Portanto, para saber se a foto foi tirada usando uma abertura octogonal, tudo oque você precisa fazer é procurar pela “forma de uma estrela” com 8 braços pontiagudos. Isso sempre funciona, já que segue um padrão de difração.