Calculadora de Potência Modular

A calculadora de potência ou de exponenciação modular da Omni está aqui para ajudar sempre que você precisar computar potências em aritmética modular. Ela usa um dos algoritmos rápidos de exponenciação modular, portanto, você não corre o risco de enfrentar o problema de overflow. Se você precisar realizar a exponenciação do módulo n manualmente, discutiremos vários métodos úteis que você pode usar em casa, incluindo o pequeno teorema de Fermat.

Você já conferiu as calculadoras da Omni relacionadas a exponenciação?

• Calculadora de multiplicação de expoentes 🇺🇸;
• Calculadora de divisão de expoentes 🇺🇸;
• Calculadora de expoente fracionário 🇺🇸;
• Calculadora de regressão exponencial; e
• Calculadora de crescimento exponencial.

Exponenciação modular significa que realizamos a exponenciação sobre um módulo, ou seja, para os números inteiros a,b,n fornecidos, queremos encontrar c de modo que

$c = a^b \operatorname{mod}n$

e $0 \leq c < n$. O poder da computação na aritmética modular está vinculado ao inverso multiplicativo modular, que você pode descobrir com a ajuda da nossa calculadora de inverso multiplicativo modular.

Você pode realizar esse cálculo manualmente, mas ele pode ser muito demorado. Como alternativa, alguns teoremas matemáticos permitem que você simplifique o problema em questão, como podemos ver abaixo. Há também algoritmos rápidos, que darão a você o resultado quase imediatamente. Usamos um desses algoritmos nesta calculadora de potência modular.

Essa calculadora de potência modular é muito fácil de usar, portanto, você não terá problemas para utilizá-la. Você só precisa:

1. Inserir os dados para calcular a potência de xʸ em aritmética modular:
   • Base x;
   • Expoente y; e
   • Módulo n.
2. Seus dados serão resumidos na parte inferior do cálculo. Verifique se tudo está correto.
3. O resultado da potência modular também aparecerá lá. É isso aí!

Nossa calculadora de potência modular será sua melhor amiga se você se deparar frequentemente com o problema de calcular potências em aritmética modular. Continue lendo se você quiser saber como calcular a potência modular de n manualmente.

Aqui você verá vários exemplos de execução manual de exponenciação modular usando diferentes métodos.

Exemplo 1. Método direto

Vamos calcular 5⁴ mod 3.

Sabemos que 5⁴ = 625, portanto, nosso problema é de fato 625 mod 3.

Claramente, 625 não é divisível por 3, mas 624 é (isso ocorre porque a soma dos dígitos é 6+2+4 = 12, que é divisível por 3).

Portanto, 625 - 1 é divisível por 3, o que significa que 5⁴ mod 3 = 625 mod 3 = 1.

Exemplo 2. Método inteligente

Vamos calcular 5⁴⁴ mod 2.

Vai ser muito difícil calcular 5⁴⁴, porque esse número é muito, muito grande. Portanto, precisamos ser espertos. Lembre-se de que mod 2 significa que estamos perguntando se o número em questão é par ou ímpar: se for par, então é igual a 0 mod 2. Se for ímpar, é igual a 1 mod 2.

Quando estamos computando potências consecutivas de 5, obtemos 5, 25, 625,.... Como você pode ver, sempre temos 5 como o último dígito. De fato, se você tiver um número com o último dígito igual a 5 e multiplicar esse número por 5, então você terá 5 como último algarismo novamente. Para ver isso, imagine a execução do algoritmo de multiplicação longa, onde você começa multiplicando 5 ⋅ 5, e assim obtém 25. Assim, 5 vai para a linha do resultado e 2 é transferido para a próxima coluna. Não importa o que aconteça em seguida, você terá 5 como o último dígito.

Um número que tem 5 como seu último dígito é ímpar. Portanto, 5⁴⁴ mod 2 = 1.

Exemplo 3. Último dígito

Vamos calcular 5⁴⁴⁴ mod 10.

Primeiro, você precisa entender que calcular mod 10 é o mesmo que calcular o último dígito do número. Já estabelecemos que se você elevar 5 a qualquer potência inteira positiva, obterá um número que termina com 5 (veja acima). Assim, 5⁴⁴⁴ termina com 5 também, portanto 5⁴⁴⁴ mod 10 = 5.

Exemplo 4. O pequeno teorema de Fermat

Vamos calcular 162⁶⁰ mod 61.

O pequeno teorema de Fermat afirma que se n é um número primo, então, para qualquer número inteiro a, temos:

$a^n \operatorname{mod} n = a$

Se adicionalmente a não for divisível por n, então

$a^{n-1} \operatorname{mod} n = 1$

Portanto, como no nosso caso temos n = 61, que é um número primo, e a = 162, que não é divisível por 61, obtemos

162⁶⁰ mod 61 = 1.