Calculadora de Módulo

Essa calculadora de módulo da Omni é uma ferramenta útil se você precisa encontrar o resultado de uma operação com módulo. Tudo o que você precisa fazer é inserir o número inicial x e o número inteiro y para encontrar o número do módulo r, de acordo com x mod y = r. Continue lendo para descobrir o que são operações e congruências modulares, como calcular o módulo e como usar esta calculadora corretamente.

Imagine um relógio pendurado em uma parede. Digamos que seja tarde da noite, 23h 🕚. Você se pergunta qual será o horário quando acordar após 8 horas de sono. Você não pode simplesmente somar 8 a 23, pois não existe o horário das 3 horas. Para encontrar a resposta correta, você precisa executar uma operação de módulo (mod 12). Você soma esses dois números e continua subtraindo 12 até obter um número menor que 12. Nesse caso, 7. Você acabou de calcular que acordará às 7h 🕖.

As operações de módulo, no caso do relógio, são tão intuitivas que nem as percebemos. Na matemática, há muitos tipos de operações de módulo mais elaboradas que exigem mais reflexão. Podemos escrever que

x mod y = r

se existir um número inteiro q (chamado quociente), que satisfaça a equação:

y ∙ q + r = x

Caso contrário, o número r é o resto da divisão, em que x é o dividendo e y é o divisor (a calculadora de resto da Omni explica como obter o resto de uma divisão).

Se a definição de módulo não lhe agradou e você ainda não tem certeza de como calcular o módulo, dê uma olhada no próximo parágrafo para que tudo fique mais claro.

Diz-se que dois números, a e b, são congruentes módulo n quando sua diferença a - b é integralmente divisível por n (portanto, (a - b) é um múltiplo de n).

Matematicamente, a fórmula de congruência de módulo é escrita como:

a ≡ b (mod n),

e n é chamado de módulo de uma congruência.

Como alternativa, você pode dizer que a e b são congruentes modulo n quando ambos têm o mesmo resto quando divididos por n:

a mod n = r
b mod n = r

onde r é um resto comum.

Então, para simplificar, a congruência de módulo ocorre quando dois números têm o mesmo resto após serem divididos pelo mesmo divisor. Assim, por exemplo, 24 módulo 10 e 34 módulo 10 dão a mesma resposta: 4. Portanto, 24 e 34 são congruentes no módulo 10.

Dêmos uma olhada em outro exemplo:

9 ≡ 21 (mod 6)

porque 21 - 9 = 12 é um múltiplo de 6. Também pode ser escrito de forma abreviada como 6 | (21 - 9). Ou, de forma equivalente, 21 e 9 têm o mesmo resto quando divididos por 6:

9 mod 6 = 3
21 mod 6 = 3

Não é uma tarefa difícil calcular o módulo manualmente. Basta você seguir as etapas abaixo!

1. Comece escolhendo o número inicial (antes de executar a operação de módulo). Digamos que seja 250. Esse é o nosso dividendo.
2. Escolha o divisor Vamos escolher 24. A operação que queremos calcular é então 250 mod 24 (250 % 24 se você estiver usando uma convenção diferente).
3. Divida um número pelo outro, arredondando para baixo: você pode pensar nessa operação como se fosse uma operação de divisão. Além disso, você pode pensar nessa operação como uma divisão inteira, o tipo de divisão em que não estamos preocupados com a parte fracionária do resultado.
4. Multiplique o divisor pelo quociente. Portanto, em nosso exemplo, é 10 ∙ 24 = 240.
5. Subtraia esse número do número inicial (dividendo). Aqui: 250 - 240 = 10.
6. O número que você obtém é o resultado da operação de módulo. Podemos escrevê-lo como 250 mod 24 = 10.

Determinar um módulo com nossa ferramenta é fácil e conveniente. Para encontrar o resultado de operações de módulo entre números inteiros, você precisa:

1. Digitar o número inicial, o dividendo, na primeira caixa. Usemos o exemplo dos parágrafos anteriores, portanto, digite 250.
2. Digite o divisor. No nosso caso, é 24.
3. Pronto! Nossa calculadora de módulo retornará a você o resultado e o resto! E, como já esperávamos: o resultado é igual a 10, o mesmo número que calculamos anteriormente.

Abaixo, você encontrará alguns módulos típicos:

• 1 mod 1 = 0 (pois mod 1 é sempre 0)
• 1 mod 2 = 1
• 1 mod 3 = 1
• 5 mod 2 = 1
• 5 mod 3 = 2
• 6 mod 3 = 0
• 7 mod 3 = 1
• 10 mod 3 = 1
• 18 mod 3 = 0
• 100 mod 3 = 1
• 100 mod 7 = 2

Se você não encontrar o que deseja aqui, não hesite em usar a calculadora de módulo da Omni!

A aritmética modular é, de modo geral, um sistema aritmético para números inteiros, em que os números "envolvem" um determinado número. Resumamos o que aprendemos sobre diferentes representações de operações de módulo, todas as declarações abaixo são equivalentes:

• A ≡ B (mod C)
• A mod C = B mod C
• C | (A - B)
• A = B + K ∙ C onde K é um número inteiro.

Também podemos realizar cálculos em operações de módulo.

1. Adição e subtração modulares

• $(\text{A} + \text{B}) \text{ mod C} = (\text{A} \text{ mod C} + \text{B} \text{ mod C}) \text{ mod C}$

• $(\text{A} - \text{B}) \text{ mod C} = (\text{A} \text{ mod C} - \text{B} \text{ mod C}) \text{ mod C}$

Assim, o módulo da soma de dois números é igual à soma do módulo desses números calculados separadamente e, em seguida, pegando o módulo desse resultado. A primeira etapa é feita para que você se livre da parte do quociente e, em seguida, a operação mod é usada novamente. Dê uma olhada no exemplo: A = 11, B = 7, C = 4.

• $(11 + 7) \text{ mod 4} = (11 \text{ mod 4} + 7 \text{ mod 4}) \text{ mod 4}$

  Parte esquerda da equação: $(11 + 7) \text{ mod 4} = 18 \text{ mod 4} = 2$

  Parte direita da equação: $(11 \text{ mod 4} + 7 \text{ mod 4}) \text{ mod 4} = (3 + 3) \text{ mod 4} = 6 \text{ mod 4} = 2$

De forma análoga, os cálculos são os mesmos para a subtração.

2. Multiplicação modular

• $(\text{A} \cdot \text{B}) \text{ mod C} = (\text{A} \text{ mod C} \cdot \text{B} \text{ mod C}) \text{ mod C}$

Essa equação pode ser útil quando você estiver lidando com números grandes e não souber o módulo desses números instantaneamente. Dêmos uma olhada no mesmo exemplo (A = 11, B = 7, C = 4). Você consegue encontrar o resultado de 77 mod 4?

• $(11 \cdot 7) \text{ mod 4} = (11 \text{ mod 4} \cdot 7 \text{ mod 4}) \text{ mod 4}$

  Parte esquerda da equação: $(11 \cdot 7) \text{ mod 4} = 77 \text{ mod 4} = 1$

  Parte direita da equação: $(11 \text{ mod 4} \cdot 7 \text{ mod 4}) \text{ mod 4} = (3 \cdot 3) \text{ mod 4} = 9 \text{ mod 4} = 1$

3. Potenciação modular

• $A^B \text{ mod C} = ((A \text{ mod C})^B) \text{ mod C}$

Essa fórmula é ainda mais útil quando você lida com números grandes. Considere o mesmo exemplo:

• $(11 ^ 7)\text{ mod 4} = ((11 \text{ mod 4})^7) \text{ mod 4}$

  Parte esquerda da equação: $(11 ^ 7) \text{ mod 4} = 19487171 \text{ mod 4} = 3$

  Parte direita da equação: $((11 \text{ mod 4})^7) \text{ mod 4} = (3^7) \text{ mod 4} = 2187 \text{ mod 4} = 3$

A utilidade dessa fórmula pode não ser tão óbvia nesse exemplo, pois ainda precisamos usar a calculadora para encontrar o resultado da potenciação (supondo que você não saiba o resultado de $3^7$ imediatamente).

Então, dê uma olhada neste outro exemplo: queremos calcular o $A^B \text{ mod C}$ para valores grandes de B; como, por exemplo, 100. Infelizmente, nossa calculadora não pode lidar com números tão grandes como esse devido ao transbordamento: somente números até $2^{60}$ podem ser mantidos. Você pode, no entanto, usar as propriedades de multiplicação para contornar esse problema:

• $2^{100} = 2^{50} \cdot 2^{50}$

$2^{100} \text{ mod 3} = (2^{50} \text{ mod 3} \cdot 2^{50} \text{ mod 3}) \text{ mod 3}$

$2^{100} \text{ mod 3} = (1 \cdot 1) \text{ mod 3} = 1$

Existem métodos de potenciação modular ainda mais rápidos para alguns casos específicos (se B for uma potência de 2). Se você quiser ler sobre eles e praticar a aritmética modular, confira a calculadora de potenciação modular da Omni.

A palavra módulo vem da palavra latina modus, que significa uma medida. Normalmente, quando usamos a palavra módulo, queremos dizer a operação de módulo, como, por exemplo, 11 mod 3 é igual a 2, portanto, é simplesmente encontrar o resto. Em uma definição estrita, o módulo significa:

Com relação ao módulo especificado

ou

A é o mesmo que B módulo C, exceto pelas diferenças contabilizadas ou explicadas por C

Essa é a definição sobre a qual escrevemos no parágrafo sobre o módulo de congruência.

No entanto, módulo não é usado apenas em um contexto matemático. Às vezes, você pode ouvi-lo em conversas cotidianas, onde provavelmente significa separação ou subdivisão de algo em diferentes partes. Por exemplo:

Estou fazendo um curso de 5 módulos na universidade.

A operação de módulo é frequentemente usada em linguagens de programação. Para isso, % (por cento) é usado para denotar essa operação (ou, às vezes, o operador de resto para números negativos). Se você estiver curioso sobre as origens do sinal %, recomendamos a calculadora de porcentagem da Omni, onde poderá encontrar mais informação sobre a história desse sinal.

Você precisa ter cuidado, pois há certa ambiguidade na definição de módulo quando valores negativos são levados em consideração. Há duas opções possíveis para o resto, uma negativa e outra positiva, e o resultado depende da implementação na linguagem de programação escolhida.

Elas podem não ser óbvias à primeira vista, mas há muitas aplicações para o módulo, desde a vida cotidiana até problemas de matemática e ciências!

1. O exemplo mais óbvio e conhecido é a chamada aritmética de relógio 🕞. Você pode somar as horas, como na explicação de módulo acima, ou os minutos, ou segundos também!

   Ninguém dirá que “você tem 40 minutos e 90 segundos restantes”, certo? A única opção é realizar uma operação de módulo e encontrar o quociente e o resto: 60 ∙ 1 + 30 = 90. 41 minutos e 30 segundos soa muito melhor.

2. As operações de módulo são usadas para calcular as somas de verificação de números de série. Os dígitos de verificação são usados principalmente em números longos e são os dígitos computados por um algoritmo. Eles estão lá para informar você sobre erros decorrentes, por exemplo, de digitação incorreta. Você pode encontrar a aplicação do módulo a seguir:

   • Em nossa calculadora de dígitos verificadores 🇺🇸:
     • os dígitos de verificação GTIN, UPC e EAN são usados para confirmar a integridade do código de barras. A fórmula para os dígitos de verificação usa o módulo 10.
     • Os números ISBN e ISSN, que são identificadores exclusivos de periódicos e livros, têm o módulo 11 ou o módulo 10.
   • IBAN — Números de contas bancárias internacionais, usam o módulo 97 para verificar se o cliente não digitou o número incorretamente.
   • NPI — US National Provider Identifier (identificador nacional de provedor dos EUA) usa a operação do módulo 10 para calcular o décimo dígito.

   Como os dígitos de verificação são usados para capturar erros de transcrição humana, eles são frequentemente usados para números de série longos. Outros exemplos de algoritmos de dígitos de controle que usam operações de módulo:

   • Número de identificação nacional (por exemplo, na Islândia, Turquia, Polônia)
   • Número de identificação fiscal (Espanha)
   • Número de identificação do veículo (EUA)
   • ...e muitos, muitos outros.

3. Ele é aplicado em muitas áreas científicas, como álgebra computacional, criptografia, ciência da computação ou matemática escolar simples, como em um algoritmo euclidiano para o cálculo do maior fator comum.

4. O módulo é útil sempre que você precisa dividir algo. Um exemplo da vida real pode ser dividir uma pizza com seus amigos ou familiares.

5. Há até mesmo usos para o módulo no Minecraft. O mod 64 informará quantas pilhas cheias de paralelepípedos você precisará para construir a estátua do Creeper.

Supondo que haja 10 fatias em uma pizza grande de festa e que vocês sejam um grupo de três. Quantas fatias restam quando você divide a pizza igualmente?

Esse é exatamente o caso quando você pode usar o módulo! 10 mod 3 = 1. Em outras palavras, 10 dividido por 3 é igual a 3, mas ainda resta 1 fatia 🍕. Esse não foi o exemplo mais difícil, mas esperamos que você possa ver a utilidade do módulo.

Ah, não! Estamos ficando com fome. Deixemos essa deliciosa distração e voltemos para a Terra. Se você estiver interessado em encontrar mais aplicações engraçadas da aritmética modular, confira esta postagem no blog betterexplained.com.