Mitternachtsformel Rechner
Wenn du eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 lösen musst, ist dieser Mitternachtsformel-Rechner (auch abc-Formel oder quadratische Formel genannt), da, um dir zu helfen. Mit nur wenigen Klicks kannst du selbst die schwierigsten Probleme lösen. Dieser Artikel beschreibt ausführlich, was die Mitternachtsformel bzw. abc-Formel ist und wofür a, b und b stehen. Außerdem wird erklärt, wie man quadratische Gleichungen löst, die eine negative Determinante und keine reellen Lösung haben.
Was sind quadratische Gleichungen?
Die quadratische Gleichung ist die Lösung einer Polynomgleichung zweiten Grades der folgenden Form:
ax² + bx + c = 0
Wenn du deine Gleichung in dieser Form umschreiben kannst, bedeutet das, dass sie mit der Mitternachtsformel (auch abc-Formel oder quadratische Formel genannt) gelöst werden kann.
Die Mitternachtsformel lautet wie folgt:
x = (-b ± √Δ)/2a,
wobei:
- Δ = b² - 4ac
Mit dieser Formel kannst du die Lösungen für jede quadratische Gleichung finden. Beachte, dass es drei Möglichkeiten gibt, um ein Ergebnis zu erhalten:
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Die quadratische Gleichung hat zwei eindeutige Lösungen, wenn Δ > 0. Dann lautet die erste Lösung der quadratischen Formel x₁ = (-b + √Δ)/2b und die zweite x₂ = (-b - √Δ)/2a.
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Die quadratische Gleichung hat nur eine reelle Lösung, wenn Δ = 0. Die Lösung ist gleich x = -b/2a.
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Die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen für Δ < 0.
Du kannst die Funktion y = ax² + bx + c auch grafisch darstellen. Sie hat die Form einer Parabel, und die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind die Schnittpunkte mit der x-Achse dieser Funktion.
💡 Wir verwenden die quadratische Gleichungen in vielen Bereichen unseres Lebens, nicht nur in der Mathematik oder Physik, sondern auch im Bauwesen. Du kannst zum Beispiel einen sanften Übergang zwischen zwei geneigten Fahrbahnen planen, indem du die vertikale Kurvenformel 🇺🇸 verwendest, die auf der quadratischen Gleichung basiert.
Koeffizienten einer quadratischen Gleichung
a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Sie sind alle reelle Zahlen, die nicht von x abhängen. Wenn a = 0 ist, dann ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear.
Wenn b² < 4ac, dann ist die Determinante Δ negativ. Das bedeutet, dass eine solche Gleichung keine reellen Lösungen hat.
Wie man quadratische Gleichungen mit der Mitternachtsformel löst
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Schreibe deine Gleichung auf. Nehmen wir an, sie lautet 4x² + 3x - 7 = -4 - x.
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Bringe die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0. In diesem Beispiel werden wir das in den folgenden Schritten tun:
4x² + 3x - 7 = -4 - x
4x² + (3 + 1)x + (-7 + 4) = 0
4x² + 4x - 3 = 0
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Berechne die Determinante.
Δ = b² - 4ac = 4² - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64.
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Entscheide, ob die Determinante größer, gleich oder kleiner als 0 ist. In unserem Fall ist die Determinante größer als 0, was bedeutet, dass diese Gleichung zwei reelle Lösungen hat.
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Berechne die beiden Lösungen mithilfe der Mitternachtsformel/ABC-Formel.
x₁ = (-b + √Δ)/2a = (-4 +√64) / (2×4) = (-4 + 8) / 8 = 4/8 = 0,5
x₂ = (-b - √Δ)/2a= (-4 -√64) / (2×4) = (-4 - 8) / 8 = -12/8 = -1.5
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Die Lösungen deiner Gleichung sind x₁ = 0,5 und x₂ = -1,5.
Du kannst auch einfach die Werte von a, b und c in unseren Rechner eingeben und ihn alle Berechnungen für dich durchführen lassen.
Vergewissere dich, dass du die richtige Anzahl an Stellen mit unserem Signifikanten Stellen Rechner notiert hast.
Lösen quadratischer Gleichungen mit negativer Determinante
Auch wenn der Mitternachtsformel-Rechner anzeigt, dass die Gleichung keine reellen Wurzeln hat, ist es möglich, die Lösung einer quadratischen Gleichung mit einer negativen Determinante zu finden. Diese Lösungen sind dann komplexe Zahlen 🇺🇸.
Komplexe Zahlen haben einen realen und einen imaginären Teil. Der Imaginärteil ist immer gleich der Zahl i = √(-1) multipliziert mit einer reellen Zahl.
Die Mitternachtsformel bleibt in diesem Fall dieselbe.
x = (-b ± √Δ)/2a
Da Δ < 0 ist, ist die Quadratwurzel der Determinante ein imaginärer Wert. Daraus folgt:
Re(x) = -b/2a
Im(x) = ± (√Δ)/2a
Weitere Methoden
Eine andere Möglichkeit, mit quadratischen Gleichungen umzugehen, ist die Faktorisierung von Trinomen 🇺🇸. Es ist sehr hilfreich, wenn du perfekte Quadrat-Trinome 🇺🇸 schnell erkennen kannst. Als Nächstes lernst du wie man quadratische Ungleichungen grafisch löst 🇺🇸.
Nachdem du alles über das Lösen quadratischer Gleichungen gelernt hast und an noch mehr mathematischen Themen interessiert bist, kannst du Omnis über 240 Mathe-Rechner erkunden. Wir empfehlen dir, einen Blick auf unseren Kubische Gleichungen Rechner 🇺🇸 zu werfen. Wir empfehlen dir auch einen Blick auf die . Dort gibt es eine große Sammlung von Ressourcen, um alles über Mathematik zu lernen, mit besonderem Augenmerk auf den zentralen Lehrplan.
