Calcolatore per le Radici

Benvenuti nel calcolatore per le radici, dove affronteremo insieme la teoria e la pratica di come calcolare la radice ennesima di un numero, chiamata anche radicale ennesimo.

Inizieremo con una rapida spiegazione di cosa sia una radice in matematica e forniremo alcuni esempi facili che potresti aver già visto, come la radice quadrata di 2, la radice quadrata di 3 o la radice cubica di 4. Ma cosa succede se è la quarta radice che vorresti trovare? Le precedenti erano abbastanza semplici, ma qual è, ad esempio, la radice quarta di 81? Non c'è da preoccuparsi, ti insegneremo presto!

Siediti, rilassati e goditi il viaggio nel mondo dei radicali!

Tutti conosciamo le moltiplicazioni, giusto? Come $12 \times 4 = 48$? Se vogliamo moltiplicare lo stesso numero più volte, possiamo scriverlo in forma semplificata:

Dove il piccolo $5$ è chiamato esponente e indica quante copie del numero grande (in questo caso, $12$) prendiamo. Questa operazione si chiama anche elevamento alla $5^\mathrm{a}$ potenza di $12$. Puoi esplorare questa operazione matematica con il calcolatore di esponenti di Omni.

Una radice è l'operazione opposta. Per collegarla al significato biologico, quando guardiamo un albero adulto, vediamo le sue foglie e il suo tronco, ma tutto è costruito sulle sue radici. E la storia è molto simile con i numeri: quando vediamo il numero $125$, allora prendere la sua radice ci mostrerà il piccolo granello da cui è cresciuto. In questo esempio, ci mostrerà che il seme è $5$ perché $5^3 = 125$.

Formalmente, la radice $n-\mathrm{esima}$ di un numero $a$ è il numero $b$, tale che:

Per esempio, diamo un'occhiata più da vicino a quale sia la radice quadrata di un numero. Supponiamo che tu stia costruendo una piscina nel tuo giardino. Vorresti che fosse tanto lunga quanto larga e che, complessivamente, coprisse un'area di $256$ metri quadrati. Come puoi capire quanto devono essere lunghi i lati? Esatto — calcolando il radicale! In questo caso, dovrebbe essere la radice quadrata dell'area, cioè la radice quadrata di $256$.

E quale è la radice quadrata di questo numero? Bene, vediamo come trovarla e come si calcola la radice quadrata in generale.

A volte il calcolo della radice in matematica può assomigliare a un gioco di indovinelli. Ma non è come tirare i dadi a occhi chiusi e indovinare il risultato. Si tratta piuttosto di un'ipotesi calcolata. Dopo tutto, una volta che sappiamo che $3^4 = 81$, possiamo dire con certezza che la $4^\mathrm{a}$ radice di $81$ è $3$. Ma prima dobbiamo saperlo.

Quindi cosa possiamo fare se dimentichiamo a casa la nostra tavoletta dei primi cento numeri e delle loro prime potenze? È una causa persa? Fortunatamente, no. Non del tutto, ma ci torneremo tra un attimo.

Come esempio, mostreremo come si calcola la radice quadrata di $72$. Il nostro strumento principale sarà la fattorizzazione dei primi, ovvero la suddivisione di $72$ nei suoi pezzi più piccoli possibili.

Nella procedura di fattorizzazione dei primi, prendiamo un numero (nel nostro caso, $72$) e troviamo il più piccolo numero primo che lo divide. Ricordiamo che un numero primo è un numero intero che ha solo due divisori: $1$ e se stesso. È abbastanza facile capire che per noi sarà $2$ poiché:

Il passo successivo consiste nel trovare il più piccolo numero primo del risultato della divisione del numero per il numero primo, cioè il numero $36$. Se continuiamo così fino a raggiungere $1$, otterremo i seguenti numeri primi: $2$, $2$, $2$, $3$, $3$. Questa è la fattorizzazione prima di $72$ e significa che:

Qualcosa non ti è chiaro sulla fattorizzazione dei primi? Non preoccuparti, è un problema matematico piuttosto interessante, a volte difficile da risolvere, anche per i computer! Puoi saperne di più (quasi tutto) su questo problema consultando il calcolatore per la fattorizzazione dei primi 🇺🇸 di Omni.

Ora, se troviamo delle coppie di numeri uguali, vedremo che abbiamo una coppia di $2$, una coppia di $3$ e un solo $2$. Questo ci permette di scrivere il radicale quadrato di $72$ come:

Un occhio attento noterà che gli unici numeri che rimangono sotto la radice sono proprio i solitari che non hanno trovato una coppia.

Ma che dire di $2$? Che cos'è la radice quadrata di $2$? Beh, questo è il motivo del "non del tutto". La radice quadrata di $2$, la radice quadrata di $3$ o qualsiasi altro numero primo ci riporta a un gioco di ipotesi. Fortunatamente, possiamo usare il nostro calcolatore per le radici per capire che $\sqrt{2} \approx 1,\!4142$, che ci dà:

In sostanza, quando ci viene chiesto "quale è la radice quadrata di...,", dovremmo prima fare la fattorizzazione dei primi per scomporre il problema e se (come in precedenza) alla fine ci rimane una piccola cifra, dobbiamo semplicemente usare uno strumento come il calcolatore per le radici per trovarla.

"Ma che dire dei radicali superiori? Cosa succede se ho bisogno, ad esempio, della quarta radice di un numero?" Beh, che bella domanda! È proprio questo il problema che affronteremo nella prossima sezione.

Ricorda che volevamo scavare una piscina nella prima sezione. Ora supponiamo che tu voglia che l'intera struttura sia un cubo che contenga $1,\!728$ metri cubi d'acqua. (Non chiederci perché, forse tutto ciò è più grande è tassato in modo diverso).

Come si fa a trovare il lato di una piscina di questo tipo? Sì, calcolando la radice cubica del numero (ecco da dove deriva il nome radice cubica). Questo ci dirà che la lunghezza dovrebbe essere:

Ma come ci siamo arrivati? Fortunatamente, lo strumento principale è lo stesso: fattorizzazione dei primi. Se applichiamo la procedura a $1728$ otterremo questo risultato:

Ora la cosa diversa è che invece di coppie, raggruppiamo i numeri in terne. Questo è ciò che suggerisce il piccolo $3$ nel simbolo della radice — abbiamo bisogno di terze potenze. Nota che le radici quadrate sono, in realtà, radicali di ordine $2$, ma non scriviamo $2$ perché... Beh, se non dobbiamo farlo per un tipo di radice, tanto vale che sia la più semplice. Questa è solo una convenzione e una tradizione. Pensa all'equivalente matematico di arrostire un agnello per la Pasqua.

Comunque, tornando al nostro problema, il raggruppamento ci permette di scrivere:

Se si sale con l'ordine del radicale, si applica la stessa regola. Quando si calcola la quarta radice, si raggruppano i primi in gruppi di quattro. Ad esempio, se hai bisogno della $4^{\mathrm{a}}$ radice di $81$, osserva prima che:

Quindi abbiamo quattro $3$. Questo significa che la $4^{\mathrm{a}}$ radice di $81$ è uguale a $3$. E se abbiamo bisogno dell'ennesima radice, prendiamo i gruppi di elementi di $n$. E se rimane qualcosa dopo la fattorizzazione, lo troviamo con uno strumento esterno come il nostro calcolatore per le radici.

Bene, dopo tutto questo tempo trascorso a leggere la teoria, è giunto il momento di guardare un esempio reale e vedere il calcolatore per le radici in azione, non credi?

Congratulazioni, è un maschio! Ora che sei diventato genitore, decidi di iniziare presto a risparmiare per quando andrà all'università. Scegli di prendere una buona fetta dei tuoi risparmi e di lasciarla in banca per i prossimi diciotto anni in modo che la somma cresca insieme a tuo figlio.

Supponiamo che tu sia riuscito a mettere da parte un solido $€8000$ (chiamiamo questa quantità $\mathrm{inizio}$). Purtroppo hai dimenticato il tasso di interesse dell'investimento, ma quel che è fatto è fatto. L'importo finale sarà una sorpresa sia per te che per tuo figlio.

Il tempo passa, gli anni passano e finalmente arriva il momento di regalare a tuo figlio i soldi che hai risparmiato. Chiama la banca e scopre che sul conto c'è $€12\ 477,\!27$ (che chiameremo variabile $\mathrm{fine}$). Non è male affatto, vero? Sembra che riuscirai a realizzare i sogni di tuo figlio.

Ma, solo per curiosità, possiamo calcolare il tasso di interesse dai numeri che abbiamo?

Certo che possiamo, e il calcolatore per le radici ci aiuterà!

Supponiamo che gli interessi vengano aggiunti al conto alla fine di ogni anno e che il denaro non venga tassato (sì, sappiamo che stiamo esagerando un po'). L'importo che otterremo alla fine è descritto dalla formula:

Dove la $18^{\mathrm{a}}$ potenza deriva dai diciott'anni che il denaro ha trascorso in banca: questa è la formula che puoi trovare nel calcolatore di interesse semplice. Nel nostro caso, questo si traduce in:

Se dividiamo entrambi i lati per $€8000$, otterremo questo risultato:

O dopo un'approssimazione:

Quindi, se abbiamo la $18^\mathrm{a}$ potenza a destra, dobbiamo trovare il $18^\degree$ radicale del numero a sinistra. Ora, si tratta di qualcosa di leggermente più complicato della radice quadrata di $3$, non è vero?

Passiamo al nostro calcolatore per le radici. Lì abbiamo due numeri: $a$ e $n$. Osservando l'immagine simbolica, vediamo che $n$ è l'ordine della radice, quindi inseriamo $n = 18$. A sua volta, $a$ è il numero sotto il radicale, quindi inseriamo $a = 1,\!5597$. In questo modo il calcolatore per le radici ci darà la risposta:

Se traduciamo il decimale in percentuale, otteniamo:

Sembra abbastanza piccolo, ma oh, come è cresciuto in diciott'anni!

Bene, curiosità soddisfatta, è ora di tornare alla torta di compleanno. Speriamo solo che tuo figlio faccia buon uso dei soldi e si dedichi agli studi.