Kalkulator wariancji

Kalkulator wariancji to świetne narzędzie edukacyjne, które nauczy Cię, jak obliczyć wariancję zbioru danych. Kalkulator działa zarówno dla populacji, jak i przykładowych zestawów danych.

W dalszej części artykułu poruszamy takie tematy jak:

• Definicja wariancji w statystyce;
• Wzór na wariancję;
• Przykłady obliczeń wariancji; oraz
• Szybką metodę ręcznego obliczania wariancji.

Wariancja jest miarą zmienności wartości w zbiorze danych.

Wysoka wariancja wskazuje, że zbiór danych jest bardziej rozproszony.

Niska wariancja wskazuje, że dane są ściślej skupione wokół średniej, czyli mniej rozproszone.

Nauka obliczania wariancji jest kluczowym krokiem w obliczaniu odchylenia standardowego 🇺🇸. Te dwie miary są podstawą do obliczania względnego odchylenia standardowego i przedziałów ufności.

Nie masz pewności co do dwóch ostatnich pojęć, których użyliśmy? Odkryj je, odwiedzając nasze dedykowane narzędzia: kalkulator względnego odchylenia standardowego 🇺🇸 i kalkulator przedziału ufności!

Wariancja (oznaczana jako σ²) jest definiowana jako średnia kwadratowa różnica od średniej dla wszystkich punktów danych. Zapisujemy ją jako:

$\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

gdzie,

• σ^2^^ jest wariancją;
• μ jest średnią; oraz
• xᵢ reprezentuje i^-ty punkt danych z N wszystkich punktów danych.

Możesz obliczyć wariancję w trzech krokach:

1. Znajdź różnicę od średniej dla każdego punktu. Użyj wzoru: $x_i - \mu$

2. Podnieś do kwadratu różnicę od średniej dla każdego punktu: $(x_i - \mu)^2$

3. Znajdź średnią podniesionych do kwadratu różnic od średniej, którą znalazłeś/aś w kroku 2: $\frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

   Jest to wzór na wariancję populacji. Zauważ, że ten wzór jest nieco inny dla danych próbnych i dla danych pogrupowanych. W rzeczywistości dla tych ostatnich mamy dedykowany kalkulator wariancji danych zgrupowanych 🇺🇸.

W wielu eksperymentach naukowych, ze względów praktycznych, mierzona jest tylko próbka populacji. Ta próbka pozwala nam wyciągać wnioski na temat populacji. Jednakże, gdy używamy przykładowych danych do oszacowania wariancji populacji, zwykły wzór na wariancję, $\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$, zaniża wariancję populacji.

Aby uniknąć niedoszacowania wariancji populacji (a w konsekwencji odchylenia standardowego), zastępujemy N przez N - 1 we wzorze na wariancję, gdy używane są dane z próby. Korekta ta znana jest jako korekta Besselsa.

Wzór na wariancję dla próby ma postać:

$s^2 = \frac 1{N-1} \sum_{i=1}^N(x_i - \bar{x})^2$

gdzie,

• s² jest oszacowaniem wariancji;
• x̄ to średnia z próby; oraz
• x_i to i^-ty punkt danych z N wszystkich punktów danych.

Oblicz wariancję wyników quizu ośmiu uczniów: 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9. Wykonaj następujące kroki:

1. Oblicz średnią

Aby obliczyć średnią (x̄), podziel sumę wszystkich liczb przez liczbę punktów danych:

$\overline{x} = \frac 18 (5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9)$

$\overline{x} = 7$

2. Oblicz różnicę od średniej i różnice podniesione do kwadratu od średniej

Teraz, gdy wiemy, że średnia wynosi 7, obliczymy różnicę od średniej za pomocą wzoru:

$x_i - \overline{x}$

Pierwszy punkt ma wartość 5, więc różnica od średniej wynosi 5 - 7 = -2.

Różnica podniesiona do kwadratu (lub "odchylenie podniesione do kwadratu") od średniej jest po prostu kwadratem poprzedniego kroku:

$(x_i - \overline{x})^2$

tak więc odchylenie podniesione do kwadratu wyniosłoby:

$(5 - 7)^2 = (-2)^2= 4$

W poniższej tabeli przedstawiamy obliczone kwadratowe odchylenia od średniej dla wszystkich wyników quizu. Kolumna "Odchylenie" to wynik minus 7, a kolumna "Odchylenie²" to poprzednia kolumna podniesiona do kwadratu.

3. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe

Następnie użyjemy kwadratów odchyleń od średniej, które znaleźliśmy w kroku 2 w równaniu wariancji:

$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

$\sigma^2 =\frac 18 (4 + 4 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4)$

$\sigma^2 = 2.75$

Wariancja wyników quizu wyniosła 2,75.

Zauważ, że gdybyśmy użyli danych z próby do oszacowania wariancji populacji, zamiast tego użylibyśmy równania wariancji próby:

$s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

Teraz, gdy już wiesz, jak znaleźć wariancję, spróbuj obliczyć ją samodzielnie, a następnie sprawdź swoją odpowiedź za pomocą naszego kalkulatora!

Może zainteresuje Cię fakt, że wariancja może być używana do obliczania dyspersji 🇺🇸 danych.

Jeśli obliczasz wariancję za pomocą zwykłego kalkulatora, musisz skorzystać z prostszego wzoru. Ten alternatywny wzór jest matematycznie równoważny, ale łatwiejszy do wpisania w kalkulatorze.

Łatwy do wpisania wzór na wariancję (dla danych populacji) to:

Łatwy do zastosowania wzór na wariancję próby to:

Na przykład, w przypadku przykładowego zbioru danych 1, 2, 4, 6, obliczenie wariancji próby byłoby następujące:

Spróbuj sam/a, a następnie sprawdź swój wynik za pomocą naszego kalkulatora wariancji!

Tabela 1. Zmienne dla danych dotyczących populacji

Tabela 2. Zmienne dla przykładowych danych